Eratostenovo Sito

U ovoj lekciji naučićemo kako da pronađemo SVE proste brojeve do n, u skoro linearnom vremenu!

Već znamo kako da proverimo da li je jedan broj prost u O(sqrt(n)).

Ali šta ako zadatak pita za prostost mnogo brojeva? Provera svakog posebno daje O(q * sqrt(n)), što je često presporo.

Kad god nam treba odgovor na "da li je x prost?" mnogo puta, želimo da unapred izračunamo odgovore - baš kao što smo uradili sa Zbirom Prefiksa.

A za to nam treba Eratostenovo Sito (en. Sieve of Eratosthenes).

Teorija

Ideja je prelepo jednostavna. Zapišemo sve brojeve od 2 do n, a zatim:

Uzmemo najmanji nedirnuti broj - on je prost (ništa manje ga nije precrtalo).
Precrtamo sve njegove umnoške - oni imaju delilac, pa sigurno nisu prosti.
Ponovimo.

Hajde da izvrtimo za n = 30:

2 je nedirnuto => prost. Precrtavamo 4, 6, 8, 10...
3 je nedirnuto => prost. Precrtavamo 6, 9, 12, 15...
4 je precrtano, preskačemo.
5 je nedirnuto => prost. Precrtavamo 10, 15, 20, 25, 30
...

Šta god preživi precrtavanje - prost je: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Eratostenovo sito nad brojevima od 2 do 30 u tri prolaza, precrtava umnoške dvojke, pa trojke, pa petice, i ostavlja proste brojeve 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

Dve optimizacije

Kada precrtavamo umnoške broja i, možemo krenuti od i * i umesto od 2 * i. Zašto? Svaki manji umnožak broja i (npr. 3 * i) ima činilac manji od i, pa ga je taj manji prost broj već precrtao.
Upravo zbog toga, spoljna petlja treba da radi samo dok je i * i <= n - posle te tačke nema više ničeg novog za precrtavanje.

Implementacija

"Precrtano" predstavljamo boolean vektorom:

Solution.cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main(){

    int n = 30;

    vector<bool> is_prime(n+1, true); //sve kreće nedirnuto

    is_prime[0] = false;
    is_prime[1] = false; //seti se, 1 nije prost!

    for(int i = 2; i * i <= n; i++){

        if(is_prime[i]){ //i je nedirnut, znači prost je

            for(int j = i * i; j <= n; j += i){ //precrtavamo umnoške, krećući od i*i
                is_prime[j] = false;
            }
        }
    }

    for(int i = 2; i <= n; i++){

        if(is_prime[i]){
            cout<<i<<" ";
        }
    }

    return 0;
}

Output: 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

I od ovog trenutka, svako pitanje "da li je x prost?" je jedno očitavanje: is_prime[x] - O(1)!

Složenost

Na prvi pogled dve petlje izgledaju kao O(n^2), ali izbroj šta zapravo radimo: za 2 precrtamo n/2 brojeva, za 3 precrtamo n/3, za 5 samo n/5...

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + ...

Ovaj zbir raste neverovatno sporo - ukupno je O(n log log n), što se u praksi skoro ne razlikuje od O(n).

Napomena:
Sito ima istu slabost kao Sortiranje Prebrojavanjem - memoriju. Treba nam vektor veličine n, pa ovo radi samo za n do otprilike 10^7. Za jedan ogroman broj (npr. 10^18), koristi O(sqrt(n)) proveru iz lekcije o Prostim Brojevima.