Vektori

U ovoj lekciji učimo o vektorima - objektu od kog je zapravo sagrađen skoro svaki geometrijski zadatak (ne mešati sa strukturom podataka).

Šta je vektor

Vektor je strelica: ima pravac, smer i dužinu, ali nema fiksni položaj. Zapisujemo ga kao par brojeva, $v = (x, y)$ , što čitamo kao "pomeri se x udesno i y nagore".

Znači, tačka i vektor se čuvaju na potpuno isti način - kao dva broja. Razlika je samo u tome kako o njima razmišljamo:

tačka je mesto (gde se nešto nalazi)
vektor je pomeraj (kako da stignemo negde)

Dve strelice iste dužine i istog smera su isti vektor, bez obzira gde ih nacrtamo. To znači ono "nema fiksni položaj", i baš zato su vektori toliko zgodni: možemo ih slobodno pomerati tamo gde nam trebaju u računu.

Od tačaka do vektora

Vektor koji nas vodi od tačke A do tačke B je prosto razlika njihovih koordinata:

A B = (B_{x} - A_{x}, B_{y} - A_{y})

Ovo je najčešće korišćena operacija u geometrijskim zadacima. Skoro svaki zadatak počinje tako što tačke iz ulaza pretvorimo u vektore - i od tog trenutka radimo isključivo sa vektorima.

Na primer, za A = (1, 2) i B = (4, 6):

A B = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)

Što nam govori upravo ono što očekujemo: da bismo od A stigli do B, idemo 3 udesno i 4 nagore.

Pazi na redosled: $B A$ nije isto što i $A B$ , to je potpuno suprotna strelica, $B A = - A B$ . Oduzimanje u pogrešnom redosledu je jedna od najčešćih grešaka u geometrijskom kodu.

Operacije nad vektorima

Postoje tri osnovne stvari koje možemo da radimo sa vektorima:

Sabiranje - izvršavanje jednog pomeraja pa zatim drugog:

u + v = (u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y})

Oduzimanje - pomeraj od vrha vektora $v$ do vrha vektora $u$ :

p - v = (p_{x} - v_{x}, p_{y} - v_{y})

Množenje skalarom - istezanje strelice brojem k. Pravac ostaje isti, a dužina se množi sa k; negativno k okreće strelicu na suprotnu stranu:

k \cdot v = (k \cdot v_{x}, k \cdot v_{y})

Dužina vektora

Vektor ima dužinu (intenzitet), a to je ista ona formula za rastojanje iz prethodne lekcije:

∣ v ∣ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2}

Implementacija

U C++-u sve ovo možemo napisati kao nekoliko malih funkcija pored naše strukture.

Vector.cpp

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct v{

    long long x, y;
};

v add(v a, v b){

    return {a.x + b.x, a.y + b.y};
}

v sub(v a, v b){

    return {a.x - b.x, a.y - b.y};
}

v scale(v a, long long k){

    return {a.x * k, a.y * k};
}

long long len2(v a){ // kvadrat duzine - ostaje ceo broj!

    return a.x * a.x + a.y * a.y;
}

double len(v a){

    return sqrt((double)len2(a));
}

double dist(v a, v b){

    return len(sub(b, a));
}

int main(){

    v a = {1, 2};
    v b = {4, 6};

    v ab = sub(b, a); // vektor od a do b

    cout<<"Vektor AB: ("<<ab.x<<", "<<ab.y<<")\n";
    cout<<"Duzina: "<<len(ab)<<'\n';
    cout<<"Rastojanje od a do b: "<<dist(a, b);

    return 0;
}

Output:
Vektor AB: (3, 4)
Duzina: 5
Rastojanje od a do b: 5

Rezime

Operacija	Formula	Napomena
Vektor `A` do `B`	$(B_{x} - A_{x}, B_{y} - A_{y})$	oduzmi početnu tačku
Sabiranje	$(u_{x} + v_{x}, u_{y} + v_{y})$	jedan pomeraj pa drugi
Oduzimanje	$(u_{x} - v_{x}, u_{y} - v_{y})$	pazi na redosled
Množenje skalarom	$(k \cdot v_{x}, k \cdot v_{y})$	negativno `k` okreće smer
Dužina	$v_{x}^{2} + v_{y}^{2}$	ista formula kao rastojanje

Vektori su glavni alat kojim rešavamo geometrijske zadatke, a u narednim lekcijama ćemo videti kako da ih iskoristimo!